Question

【題目】已知點 ，點P是圓 上的任意一點，設Q為該圓的圓心，并且線段PA的垂直平分線與直線PQ交于點E．
（1）求點E的軌跡方程；
（2）已知M，N兩點的坐標分別為（﹣2，0），（2，0），點T是直線x=4上的一個動點，且直線TM，TN分別交（1）中點E的軌跡于C，D兩點（M，N，C，D四點互不相同），證明：直線CD恒過一定點，并求出該定點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵|EA|+|QE|=|EQ|+|PE|=4，且|QA|=2 ＜4，

∴點E的軌跡是以A，Q為焦點的橢圓，

設橢圓方程為 =1，則2a=4，c= ，∴a=2，b= =1．

所以點E的軌跡方程為：

（2）解：依題意設直線CD的方程為：x=my+n，

代入橢圓方程x2+4y2=4得：（4+m2）y2+2mny+（n2﹣4）=0

設C（x1，y1），D（x2，y2），則 ， ．

∵直線TM方程為 ，直線TN方程為 ，

由題知TM，TN的交點T的橫坐標為4，∴ ，即3y1（x2﹣2）=y2（x1+2），

即：3y1（my2+n﹣2）=y2（my1+n+2），整理得：2my1y2=（n+2）y2﹣3（n﹣2）y1，

∴

化簡可得： ．

∵當m，y1變化時，上式恒成立，∴n=1，

∴直線CD恒過一定點（1，0）

【解析】（1）利用橢圓的定義即可得出E的軌跡方程；（2）設CD方程x=my+n，代入橢圓方程消元，得出C，D坐標的關系，求出TM，TN的方程，根據(jù)交點橫坐標為4得出恒等式，從而得出n的值，即得出直線CD的定點坐標．