Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分別是BC，PC的中點．
（Ⅰ）證明：AE⊥PD；
（Ⅱ）設PA=AB=2，求二面角A-EF-D的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,空間中直線與直線之間的位置關系,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，E是BC的中點，則AE⊥BC，再由BC∥AD，即有AE⊥AD，由線面垂直可得PA⊥AE，進而AE⊥平面PAD，從而得到AE⊥PD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系A-xyz，求出A，D，E，F，P的坐標，得到向量AE，AF，DE，DF的坐標，設平面AEF的法向量

m

=（x，y，z），設平面DEF的法向量

n

=（m，n，p），由垂直的條件：數量積為0，求得法向量，再由向量的夾角公式，即可得到．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，E是BC的中點，∴AE⊥BC，
∵BC∥AD，∴AE⊥AD，
而PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，
∴AE⊥PD；
（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系A-xyz，∵PA=AB=2，則A（0，0，0），
D（0，2，0），E（

3

，0，0），C（

3

，1，0），P（0，0，2），
F為PC的中點，∴F（

3

2

，

1

2

，1），

AE

=（

3

，0，0），

AF

=（

3

2

，

1

2

，1），

DE

=（

3

，-2，0），

DF

=（

3

2

，-

3

2

，1），
設平面AEF的法向量

m

=（x，y，z），由

m • AE =0 m • AF =0

，得

m

=（0，-2，1）；
設平面DEF的法向量

n

=（m，n，p），由

n • DE =0 n • DF =0

得

n

=（

4 3

3

，2，1）．
則cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

-4+1

5 93 9

=-

3 465

155

．
由題意得，二面角A-EF-D為鈍角二面角，故所求二面角的余弦值為-

3 465

155

．

點評：本題考查空間位置關系的證明，考查線面垂直的判定和性質的運用，考查空間二面角的求法，主要是運用空間向量法，設出法向量，由向量的夾角可得，考查運算能力，屬于中檔題．