Question

已知對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C₁與拋物線(xiàn)C₂：x²=4y有一個(gè)相同的焦點(diǎn)F₁，直線(xiàn)l：y=2x+m與拋物線(xiàn)C₂只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）若橢圓C₁經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l上的點(diǎn)P，當(dāng)橢圓C₁的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取最小值時(shí)，求橢圓C₁的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,直線(xiàn)的一般式方程

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）直接把直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用判別式等于0求解m的值，代入后可得直線(xiàn)方程；
（Ⅱ）由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)F₁ 關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后利用三角形兩邊之和大于第三邊得到使橢圓C₁的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求得橢圓長(zhǎng)軸的最小值，則答案可求．

解答： 解：（Ⅰ）由

y=2x+m x2=4y

消去y，得x²-8x-4m=0．
∵直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C₂只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=8²+4×4m=0，解得m=-4．
∴直線(xiàn)l的方程為y=2x-4；
（Ⅱ）∵拋物線(xiàn)C₂的焦點(diǎn)為：F₁（0，1），
依題意知橢圓C₁ 的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（0，1），F(xiàn)₂（0，-1），
如圖，

設(shè)點(diǎn)F₁關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F1′(x0，y0)，
則

y0-1 x0 ×2=-1 y0+1 2 =2× x0 2 -4

，解得

x0=4 y0=-1

．
∴點(diǎn)F1′(4，-1)．
∴直線(xiàn)F1′F2 的方程為y=-1．
直線(xiàn)l與直線(xiàn)F1′F2 的交點(diǎn)坐標(biāo)為P0(

3

2

，-1)．
由橢圓的定義及平面幾何知識(shí)得：
橢圓C₁的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=|PF1|+|PF2|=|PF1′|+|PF2|≥|F1′F2|=4．
其中當(dāng)P與P₀重合時(shí)上式取等號(hào)．
∴當(dāng)a=2時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最小值為4，
此時(shí)橢圓的方程為

y2

4

+

x2

3

=1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

3

2

，-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合題，考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，訓(xùn)練了利用三角形兩邊之和大于第三邊求最值點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了橢圓方程的求法，是壓軸題．