Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，（）．

（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若在（）上存在一點，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)時，函數(shù)取得極小值1；（2）當(dāng)時，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為，當(dāng)時，只有遞增區(qū)間為；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，當(dāng)時，先得到解析式，在定義域范圍內(nèi)，解不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的極值；第二問，先求出表達(dá)式，對求導(dǎo)，需討論的根與0的大小，分情況討論；第三問，將在（）上存在一點，使得成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合第二問的結(jié)論，討論求的最小值.

試題解析：（1）的定義域為． 1分

當(dāng)時，， ． 2分

由，解得.

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，極小值為； 4分

（2），其定義域為．

又． 5分

①當(dāng)，即時，在上，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增. 6分

②當(dāng)，即時，在上，在上，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； 7分

綜上所述：當(dāng)時，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為．

當(dāng)時，只有遞增區(qū)間為． 8分

（3）若在上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得．

則函數(shù)在上的最小值小于零． 9分

①當(dāng)，即時，由（2）可知在上單調(diào)遞減．

故在上的最小值為，由，可得．

因為．所以； 10分

②當(dāng)，即時，由（2）可知在上單調(diào)遞增．

故在上最小值為，由，

可得（滿足）； 11分

③當(dāng)，即時，由（2）可知可得在上最小值為

．

因為，所以，．

，即不滿足題意，舍去． 13分

綜上所述得，或．

實數(shù)的取值范圍為． 14分

考點：導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.