Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（-2）=0，當x＞0時，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0恒成立，則不等式xf（x）＞0的解集是（　�。�

• A、（-2，0）∪（2，+∞）
• B、（-2，0）∪（0，2）
• C、（-∞，-2）∪（0，2）
• D、（-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，然后得到該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后結(jié)合該函數(shù)的取值情形，進行求解．

解答： 解：∵

xf′(x)-f(x)

x2

＞0（x＞0），
設(shè)函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，
∴g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
∵g（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=g（x），
∴g（x）為偶函數(shù)，
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），
∵f（-2）=0，
∴g（-2）=0．g（2）=0，
∴當x＜-2時，g（x）＞0，
當-2＜x＜0時，g（x）＜0，
當0＜x＜2時，g（x）＜0，
當x＞2時，g（x）＞0，
∵不等式xf（x）＞0的解集等價于g（x）＞0，
∴當x＜-2或x＞2時，g（x）＞0，
不等式xf（x）＞0的解集{x|x＜-2或x＞2}．
故選：D．

點評：題重點考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系等知識點，屬于中檔題．