Question

已知函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且當x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-

2

3

．
（1）求證：f（x）在R上是減函數(shù)．
（2）求函數(shù)在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（2）利用f（x）在R上是減函數(shù)可知f（x）在[-3，3]上也是減函數(shù)，易求f（3）=-2，從而可求得f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值；
1）令x=y=0⇒f（0）=0，再令y=-x即可證得f（-x）=-f（x），利用函數(shù)的單調(diào)性的定義與奇函數(shù)的性質(zhì)，結合已知即可證得f（x）是R上的減函數(shù)．

解答： 解：（1）證明：令x=y=0，則f（0）=0，
令y=-x則f（-x）=-f（x），
在R上任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁＞0，△y=f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
∵x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0，
又∵x＞0時，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
有定義可知函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞減函數(shù)．
（2）∵f（x）在R上是減函數(shù)，
∴f（x）在[-3，3]上也是減函數(shù)．
又f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-

2

3

）=-2，
由f（-x）=-f（x）可得f（-3）=-f（3）=2，
故f（x）在[-3，3]上最大值為2，最小值為-2．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，突出考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性與最值的綜合應用，考查轉(zhuǎn)化思想與方程思想的綜合應用，屬于中檔題．