Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（q+p）=f（p）f（q），f（1）=3，則

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+…+

f2(1007)+f(2014)

f(2013)

=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件可令p=n-1，q=1，得到f（n）=3f（n-1），再令p=q=n，以及p=n，q=n-1．得到f（2n）=f²（n），f（2n-1）=f（n）f（n-1）．再計算出

f2(n)+f(2n)

f(2n-1)

=6．即可得到所求的值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（q+p）=f（p）f（q），f（1）=3，
∴f（n）=f（n-1）f（1）=3f（n-1），
f（2n）=f²（n），f（2n-1）=f（n）f（n-1）．
∴

f2(n)+f(2n)

f(2n-1)

=

2f2(n)

f(n)f(n-1)

=

2f(n)

f(n-1)

=6．
∴

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+…+

f2(1007)+f(2014)

f(2013)

=6+6+6+…+6
=6×1007=6042．
故答案為：6042．

點評：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時考查觀察和推理能力，屬于中檔題．