Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（2）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（3）當(dāng)時(shí)，試證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增（2）答案不唯一，具體見解析（3）詳見解析

【解析】

（1）分析函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，即可寫出函數(shù)單調(diào)區(qū)間（2）由（1）中，分，，，四種情況分類討論函數(shù)的單調(diào)性，寫出函數(shù)極值點(diǎn)（3）觀察不等式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證在上單調(diào)遞增，可知恒成立，令即可證明.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>①，

，

令，則，由，得，

即在上恒成立，所以.

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.

（2）①由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)，解，得，.

當(dāng)時(shí)，，，所以，，

且時(shí)，，時(shí)，

，此時(shí)在上有唯一的極小值點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，，

在，上都大于0，在上小于0，

此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).

綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上有唯一的極小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn).

（3）證明：當(dāng)時(shí)，，

令，

則，

顯然在上恒為正，

所以在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，恒有，

所以當(dāng)時(shí)，有，

即，所以對任意正整數(shù)，取，可得恒成立.