Question

設A為曲線M上任意一點，B為曲線N上任意一點，若|AB|的最小值存在且為d，則稱d為曲線M，N之間的距離．
（1）若曲線M：y=e^x（e為自然對數的底數），曲線N：y=x，則曲線M，N之間的距離為

 

；
（2）若曲線M：y²+1=x，曲線N：x²+1+y=0，則曲線M，N之間的距離為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,點到直線的距離公式

專題：導數的綜合應用,直線與圓

分析：（1）設與直線N：y=x平行且與曲線M：y=e^x相切的直線方程為y=x+t，切點P（x₀，y₀）．利用導數的幾何意義可得切點P（0，1），
代入y=x+t，解得t=1．可得切線方程為y=x+1．即可得出曲線M，N之間的距離．
（2）由曲線M：y²+1=x，曲線N：x²+1+y=0，可知兩曲線關于直線：y=-x對稱．設與直線：y=-x平行，且與曲線N：x²+1+y=0相切于點p（x，y），利用導數的幾何意義可得切點，利用平行線之間的距離公式即可得出．

解答： 解：（1）設與直線N：y=x平行且與曲線M：y=e^x相切的直線方程為y=x+t，切點P（x₀，y₀）．
∵y′=e^x，∴ex0=1，∴x₀=0．
∴y₀=1．
∴切點P（0，1），
∴1=0+t，解得t=1．
∴切線方程為y=x+1．
∴曲線M，N之間的距離=

1

2

=

2

2

．
（2）由曲線M：y²+1=x，曲線N：x²+1+y=0，可知兩曲線關于直線：y=-x對稱．
設與直線：y=-x平行，且與曲線N：x²+1+y=0相切于點p（x，y），
由曲線N：x²+1+y=0，y′=-2x，
令-2x=-1，解得x=

1

2

，y=-

5

4

．
切點P(

1

2

，-

5

4

)到直線y=-x的距離d=

| 1 2 - 5 4 |

2

=

3 2

8

．
∴曲線M，N之間的距離為

3 2

4

．
故答案為：

2

2

，

3 2

4

．

點評：本題考查了利用導數的幾何意義可得切線的斜率、兩條平行線之間的距離，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．