Question

已知F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點，過點F作斜率為2的直線l使它與圓x²+y²=b²相切，則橢圓離心率是（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  5

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：用點斜式求得直線l的方程為2x-y-2c=0．再根據(jù)圓心（0，0）到直線l的距離等于半徑b，求得 b²=

4

5

c²．再根據(jù)a²-b²=c²，求得離心率

c

a

的值．

解答： 解：設(shè)橢圓的右焦點為F（-c，0），c=

a2-b2

，∵直線PF的斜率為2，
則直線l的方程為y-0=2（x-c），即 2x-y-2c=0．
再根據(jù)直線l與圓x²+y²=b²相切，可得圓心（0，0）到直線l的距離等于半徑b，
即

|0-0-2c|

4+1

=b，求得 b²=

4

5

c²．
再根據(jù)a²-b²=c²，可得a²-

4

5

c²=c²，求得

c

a

=

5

3

，
故選：C．

點評：本題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線和圓相切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．