Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞o）與x軸正向交于點(diǎn)A，若這個(gè)橢圓上存在點(diǎn)P，使OP⊥AP，O為原點(diǎn)，求離心率e的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：向量與圓錐曲線

分析：以AO為直徑的圓方程為（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

，即x²+y²-ax=0，
由

x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2-ax=0

化簡消去y，P、A是橢圓橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1與x²+y²-ax=0兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．
由圖形得0＜m＜a，0＜

ab2

a2-b2

＜a，
即b²＜a²-b²，可得a²-c²＜c²，得a²＜2c²
a＜

2

c，即可得到答案．

解答： 解：∵∠AP0=90゜，∴點(diǎn)P在以AO為直徑的圓上，
∵O（0，0），A（a，0），
∴以AO為直徑的圓方程為（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

，即x²+y²-ax=0，
由

x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2-ax=0

消去y，得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0．
設(shè)P（m，n），
∵P、A是橢圓橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1與x²+y²-ax=0兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，
∴m+a=

-a3

b2-a2

，ma=

a2b2

a2-b2

，可得m=

ab2

a2-b2

．
∵由圖形得0＜m＜a，∴0＜

ab2

a2-b2

＜a，
即b²＜a²-b²，可得a²-c²＜c²，得a²＜2c²
∴a＜

2

c，解得橢圓離心率e=

c

a

＞

c

2 c

=

2

2

，
又∵e∈（0，1），
∴橢圓的離心率e的取值范圍為（

2

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的幾何性質(zhì)，運(yùn)用方程組求解，難度較大．