Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，且點(diǎn)（b_n+1，b_n）在直線y=x-1上．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；     
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3），由此能求出a_n．
（Ⅱ）因?yàn)椋╞_n+1，b_n）在直線y=x-1上，所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1，由此能求出b_n．
（Ⅲ）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行解答．

解答 解：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3）
所以{a_n+3}是首項(xiàng)為a₁+3=4，公比為2的等比數(shù)列．
所以a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，故a_n=2ⁿ⁺¹-3；
（Ⅱ）因?yàn)椋╞_n+1，b_n）在直線y=x-1上，
所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1又b₁=1
故數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以b_n=n；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以S_n=1×n+$\frac{1}{2}$n（n-1）=$\frac{1}{2}$n（n+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，難度不大，考查計(jì)算能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題．