已知函數(shù)（其中為常數(shù)）.
(Ⅰ)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的3個極值點為，且.證明：.

(Ⅰ)單調(diào)減區(qū)間為,；增區(qū)間為.(Ⅱ)詳見解析.

解析試題分析：(Ⅰ)將代入，然后求導(dǎo)便可得其單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)我們分以下幾步來分析.
第一步、對求導(dǎo)得：.顯然是它的一個極值點，下面我們要弄清楚應(yīng)該是還是.另兩個極值點便是方程的根.對這個方程，我們不可能直接解，所以接下來就利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù).
第二步、對求導(dǎo)得：
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時，，.又，
所以在上必有一個極值點.
因為，所以，，
∴的兩個零點必有一個小于（實際上比還�。�，而另一個大于1，
∴.
∴當(dāng)時，是函數(shù)的兩個零點，且.
即有.這樣問題轉(zhuǎn)化為在該條件下證明.那么這個不等式如何證呢？
第三步、注意到待證不等式中不含，故考慮消去，找到之間的關(guān)系式.
消去有.
令，有零點.
∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，在處取得極小值.由于，所以.
因為.

所以要證明，只需證.那么這個不等式又如何證明呢？
因為函數(shù)在上遞增，所以轉(zhuǎn)化為證.
 即證.
這個不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)就很容易證明了.
試題解析：(Ⅰ)求導(dǎo)得：.
令可得.列表如下:


			

			
			

		
	

		

		





			
		
		
				

				練習(xí)冊系列答案
		

		
				
			

					

				相關(guān)習(xí)題
			

						
		

			

				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：解答題
			


						
已知函數(shù)：
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對于任意的，若函數(shù)在 區(qū)間上有最值，求實數(shù)的取值范圍.


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：解答題
			


						
設(shè)函數(shù)f（x）＝＋，g（x）＝ln（2ex）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求y＝f（x）－g（x）（x＞0）的最小值；
（2）是否存在一次函數(shù)h（x）＝kx＋b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）對一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函數(shù)的表達(dá)式，若不存在，說明理由：
3）數(shù)列{}中，a1＝1，＝g（）（n≥2），求證：＜＜＜1且＜．


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：解答題
			


						
設(shè)和是函數(shù)的兩個極值點，其中，．
（1）求的取值范圍；
（2）若，求的最大值．注：e是自然對數(shù)的底．


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：解答題
			


						
已知函數(shù)，（且）.
（1）設(shè)，令，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（2）若且的定義域和值域都是，求的最大值；
（3）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：解答題
			


						
已知函數(shù)，其中.
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數(shù)的極大值和極小值，若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍.


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：解答題
			


						
己知函數(shù) .
(I)求的極大值和極小值；
(II)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：解答題
			


						
設(shè)二次函數(shù)的圖像過原點，，的導(dǎo)函數(shù)為，且，
（1）求函數(shù)，的解析式；
（2）求的極小值；
（3）是否存在實常數(shù)和，使得和若存在，求出和的值；若不存在，說明理由.


			


			

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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：解答題
			


						
已知函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)沒有零點，求的取值范圍.


			


			

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同步練習(xí)冊答案