解:(Ⅰ)由a
1=1及b
n=n+1,令n=1,得到a
2=a
1+b
1=1+2=3,
令n=2,得到a
3=a
2+b
2=3+3=6,
令n=4,得到a
4=a
3+b
3=6+4=10;
(Ⅱ)(�。┮驗閎
n+1b
n-1=b
n(n≥2),
所以,對任意的n∈N
*有

,
即數(shù)列{b
n}各項的值重復出現(xiàn),周期為6.(5分)
又數(shù)列{b
n}的前6項分別為

,且這六個數(shù)的和為7.
設數(shù)列{b
n}的前n項和為S
n,
則當n=2k(k∈N
*)時,S
3n=S
6k=k(b
1+b
2+b
3+b
4+b
5+b
6)=7k,
當n=2k+1(k∈N
*)時,S
3n=S
6k+3=k(b
1+b
2+b
3+b
4+b
5+b
6)+b
6k+1+b
6k+2+b
6k+3=7k+b
1+b
2+b
3=7k+5,(7分)
所以,當n為偶數(shù)時,

;當n為奇數(shù)時,

.(8分)
(ⅱ)證明:由(�。┲簩θ我獾膎∈N
*有b
n+6=b
n,
又數(shù)列{b
n}的前6項分別為

,且這六個數(shù)的和為

.
設c
n=a
6n+i(n≥0),(其中i為常數(shù)且i∈{1,2,3,4,5,6}),
所以c
n+1-c
n=a
6n+6+i-a
6n+i=b
6n+i+1+b
6n+i+2+b
6n+i+3+b
6n+i+4+b
6n+i+5+b
6n+i+6=

.
所以,數(shù)列{a
6n+i}均為以

為公差的等差數(shù)列.(10分)
因為b>0時,

,b<0時,

,(12分)
所以{a
6n+i}為公差不為零的等差數(shù)列,其中任何一項的值最多在該數(shù)列中出現(xiàn)一次.
所以數(shù)列{a
n}中任意一項的值最多在此數(shù)列中出現(xiàn)6次,即任意一項的值不會在此數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次.(14分)
分析:(Ⅰ)根據(jù)數(shù)列{a
n}的首項為1,把n=1代入b
n=a
n+1-a
n及b
n=n+1中,得到數(shù)列{a
n}第2項的值,由求出的第2項的值和n=2代入求出的b
2,即可求出數(shù)列{a
n}第3項的值,由求出的第3項的值和n=3代入求出的b
3,即可求出數(shù)列{a
n}第4項a
4的值;
(Ⅱ)(�。└鶕�(jù)已知的條件b
n+1b
n-1=b
n,當n大于等于2時,把n換為n+6,代入已知的等式后,化簡得到b
n+6=b
n,得到數(shù)列{b
n}各項的值重復出現(xiàn),周期為6,又b
1=a=1,b
2=b=2,根據(jù)b
n+1b
n-1=b
n,依次得到b
3,b
4,b
5,b
6的值,且求出六個數(shù)的和,設數(shù)列{b
n}的前n項和為S
n,然后分n為偶數(shù)即n=2k和n為奇數(shù)即n=2k+1兩種情況考慮,當n=2k時,S
3n等于S
6k,根據(jù)數(shù)列{b
n}各項的值重復出現(xiàn),周期為6,得到S
3n等于S
6k等于前6項之和的k倍,即可求出S
3n的值,當n=2k+1時,S
3n等于S
6k+3等于前6項之和的k倍加上第6k+1,6k+2,6k+3三項,又根據(jù)數(shù)列{b
n}各項的值重復出現(xiàn),周期為6,得到S
3n等于S
6k+3等于7k加上第1、2及3項的和,進而得到S
3n的值;
(ⅱ)由(i)得到數(shù)列{b
n}各項的值重復出現(xiàn),周期為6,b
1=a=1,再根據(jù)b
n+1b
n-1=b
n,第2項等于b,即可表示出第3項到第6項的值,且表示出六項的和,設c
n=a
6n+i,所以c
n+1-c
n,根據(jù)數(shù)列的周期性得到之差等于前6項的和,數(shù)列{a
6n+i}均為等差數(shù)列,公差為前6項的和,當b大于0時,得到公差大于0,當b小于0時得到公差小于0,所以{a
6n+i}為公差不為零的等差數(shù)列,其中任何一項的值最多在該數(shù)列中出現(xiàn)一次.即數(shù)列{a
n}中任意一項的值最多在此數(shù)列中出現(xiàn)6次不會出現(xiàn)無數(shù)次,得證.
點評:此題考查學生會利用數(shù)列的遞推式得到數(shù)列的特征及周期性,根據(jù)數(shù)列的遞推式及周期性求出數(shù)列的和,是一道中檔題.