Question

設(shè)M（x，y）到定點(diǎn)F（

3

，0）的距離和它到直線x=

4 3

3

距離的比是

3

2

．
（Ⅰ）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡方程；
（Ⅱ）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為k的直線過(guò)F點(diǎn)，且與點(diǎn)M的軌跡交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若x₁x₂+4y₁y₂=0，求△AOB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）直接利用已知條件考查方程，化簡(jiǎn)即可求點(diǎn)M（x，y）的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線AB的方程，與橢圓聯(lián)立方程組消去y并整理利用韋達(dá)定理，結(jié)合x(chóng)₁x₂+4y₁y₂=0，求出|AB|．原點(diǎn)O到直線AB的距離，然后求AOB的面積．

解答： 解：（Ⅰ）由已知M（x，y）到定點(diǎn)F（

3

，0）的距離和它到直線x=

4 3

3

距離的比是

3

2

．
得

(x- 3 )2+(y-0)2

|x- 4 3 3 |

=

3

2

化簡(jiǎn)得點(diǎn)M（x，y）的軌跡方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=k(x-

3

)．聯(lián)立方程組

x2 4 +y2=1 y=k(x- 3 )

消去y并整理得(4k2+1)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，
故x1+x2=

8 3 k2

4k2+1

，x1x2=

12k2-4

4k2+1

，
y1y2=k(x1-

3

)•k(x2-

3

)=k2[x1x2-

3

(x1+x2)+3]=

-k2

4k2+1

又x₁x₂+4y₁y₂=0，
所以

12k2-4

4k2+1

+

-4k2

4k2+1

=0，
可得k2=

1

2

，
所以x1+x2=

4 3

3

，x1x2=

2

3

由|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=2
原點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|k(0- 3 )-0|

k2+1

=

|k 3 |

k2+1

=1
所以S△AOB=

1

2

|AB|•d=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．