【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)﹣ x.
(1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明;
(2)設(shè)g(x)=log4(a2x﹣ a),若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:f(x)為R上的偶函數(shù),以下進(jìn)行證明:
易知,f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
因?yàn)閒(x)=log4(4x+1)﹣ x=log4(4x+1)﹣ = = .,
所以f(﹣x)= =f(x),所以f(x)為R上的偶函數(shù)
(2)解:f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),只需方程 =log4(a2x﹣ a)有且只有一個(gè)實(shí)根,即方程 有且只有一個(gè)實(shí)根.
令t=2x>0,則方程(a﹣1)t2﹣ at﹣1=0有且只有一個(gè)正根
①a=1時(shí)t=﹣ ,不合題意;
②若△=0則a= 或者a=﹣3;
若a= ,則t=﹣2,不合題意;若a=﹣3則t= ,符合題意
③若△>0,則方程有兩根,顯然方程沒(méi)有零根.
所以依題意知,方程有一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根,即 解得a>1,
綜上所述:實(shí)數(shù)a的取值范圍是{﹣3}∪(1,+∞)
【解析】(1)利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷;(2)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),等價(jià)于方程 =log4(a2x﹣ a)有且只有一個(gè)實(shí)根,令t=2x>0,則方程(a﹣1)t2﹣ at﹣1=0有且只有一個(gè)正根.對(duì)系數(shù)a討論,得知.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的奇偶性(偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時(shí))是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),車流速度為60千米/小時(shí).研究表明:當(dāng)時(shí),車流速度是車流密度的一次函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)車流密度為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的多面體是由一個(gè)直平行六面體被平面所截后得到的,其中, , .
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)滿足f(x+1)﹣f(x)=4x+1,且f(0)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在區(qū)間[﹣1,1]上,不等式f(x)>6x+m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段, 為垂足,點(diǎn)滿足.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)若兩點(diǎn)分別為橢圓的左右頂點(diǎn), 為橢圓的左焦點(diǎn),直線與橢圓交于點(diǎn),直線的斜率分別為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=x|x﹣a|.
(1)當(dāng)a=2時(shí),將函數(shù)f(x)寫成分段函數(shù)的形式,并作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖,寫出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)a>2時(shí),求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)(其中a∈R,且a為常數(shù)) (Ⅰ)當(dāng)a=4時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對(duì)于任意的x∈(1,+∞),都有f(x)>0成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若方程f(x)+a+1=0在x∈(1,2)上有且只有一個(gè)實(shí)根,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x|,g(x)=﹣|x﹣4|+m.
(1)解關(guān)于x的不等式g[f(x)]+3﹣m>0;
(2)若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(2x)圖象的上方,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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