Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）﹣ x．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（2）設(shè)g（x）=log4（a2x﹣ a），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）為R上的偶函數(shù)，以下進(jìn)行證明：

易知，f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

因?yàn)閒（x）=log4（4x+1）﹣ x=log4（4x+1）﹣ = = ．，

所以f（﹣x）= =f（x），所以f（x）為R上的偶函數(shù)

（2）解：f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，只需方程 =log4（a2x﹣ a）有且只有一個(gè)實(shí)根，即方程 有且只有一個(gè)實(shí)根．

令t=2x＞0，則方程（a﹣1）t2﹣ at﹣1=0有且只有一個(gè)正根

①a=1時(shí)t=﹣ ，不合題意；

②若△=0則a= 或者a=﹣3；

若a= ，則t=﹣2，不合題意；若a=﹣3則t= ，符合題意

③若△＞0，則方程有兩根，顯然方程沒(méi)有零根．

所以依題意知，方程有一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根，即 解得a＞1，

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是{﹣3}∪（1，+∞）

【解析】（1）利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷；（2）f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于方程 =log4（a2x﹣ a）有且只有一個(gè)實(shí)根，令t=2x＞0，則方程（a﹣1）t2﹣ at﹣1=0有且只有一個(gè)正根．對(duì)系數(shù)a討論，得知．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的奇偶性(偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)．