Question

已知橢圓C的一個焦點為F（-2，0），且長軸長與短軸長的比是2：

3

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點M（m，0）在橢圓C的長軸上，點P是橢圓上任意一點，記|

MP

|的最小值為f（m）若關(guān)于實數(shù)m的方程f（m）-2t=0有解，請求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題意得

a2=b2+c2 a b = 2 3 c=2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x，y）為橢圓上的動點，由于橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1，由|

MP

|2=（x-m）²+y²=

1

4

(x-4m)2+12-3m²，由此能求出|

MP

|的最小值實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由題意，得

a2=b2+c2 a b = 2 3 c=2

，
解得a²=16，b²=12．
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）設(shè)P（x，y）為橢圓上的動點，由于橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1，∴-4≤x≤4，
∵

MP

=(x-m，y)，
∴|

MP

|2=（x-m）²+y²=（x-m）²+12×（1-

x2

16

）
=

1

4

x2-2mx+m2+12
=

1

4

(x-4m)2+12-3m²，
∵

-4≤m≤4 -4≤x≤4

，
∴|

MP

|的最小值f（m）=

m+4，-4≤m＜1 12-3m2 ，-1≤m≤1 4-m，1＜m≤4

，
∴f（m）的值域為[0，2

3

]，
又由f（m）-2t=0，得2t=f（m），
∴0≤2t≤2

3

，
故實數(shù)t的取值范圍為[0，

3

]．

點評：本題考查橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．