Question

如圖，五面體EF-ABCD中，ABCD是以點H為中心的正方形，EF∥AB，EH丄平面 ABCD，AB=2，EF=EH=1．
（1）證明：EH∥平面ADF；
（2）證明：平面ADF丄平面ABCD；
（3）求五面體EF-ABCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得EF∥AB且EF=

1

2

AB，取AD的中點G，連結(jié)GH，GF，證明FG∥EH，利用直線與平面平行的判定定理證明EH∥平面ADF．
（2）證明FG⊥平面ABCD，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面ADF⊥平面ABCD．
（2）說明GH為該柱體的高，利用V_ABCD-EF=V_ADF-RTE+V_E-BCTR求解即可．

解答： 證明：（1）由已知得EF∥AB且EF=

1

2

AB
取AD的中點G，連結(jié)GH，GF…..（1分）
則GH∥AB且GH=

1

2

AB…（2分）
EF∥GH且EF=GH，即EFGH為平行四邊形
∴FG∥EH，F(xiàn)G?平面ADF，EH?平面ADF 
∴EH∥平面ADF；
（2）∵EH⊥平面ABCD，且FG∥EH，…（7分）
∴FG⊥平面ABCD，且FG?平面ADF，…（9分）
∴平面ADF⊥平面ABCD；…．（10分）
（2）解：在面ABCD內(nèi)過H作RT∥AD，
如圖，則面RTE∥面ADF，ADF-RTE為三棱柱，
由（1）及HG⊥AD得GH為該柱體的高，…．（12分）
∴V_ABCD-EF=V_ADF-RTE+V_E-BCTR
=（

1

2

×2×1）×1+

1

3

×（2×1）×1=

5

3

．（不排除其它方法，酌情分布給分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．