Question

設函數y=f（x）為定義在R上的奇函數，f（x+2）=-f（x）．當x∈[-1，0]時，f（x）=f₀（x）=x³．
（1）當x∈[1，3]時，求y=f₁（x）的解析式；
（2）記y=f（x），x∈（4k-1，4k+1]，k∈Z為y=f_k（x），求y=f_k（x）及其反函數y=fk-1（x）的解析式；
（3）定義g（x）=2k+（-1）^kf（x），其中x∈[2k-1，2k+1]，探究方程g（x）-b=0（b＞0）在區(qū)間[-2013，2013]上的解的個數．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷,函數解析式的求解及常用方法,反函數

專題：函數的性質及應用

分析：（1）轉化為[-1，0]時求解，（2）根據反函數概念求解，（3）運用圖象求解，分類討論．

解答： 解：（1）當x∈[0，1]時，-x∈[-1，0]，
f（x）=-f（-x）=x³，（-1≤x≤1）；
（2）f（x+2）=-f（x），可得．f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
則f（x）的周期為4；
當x∈[1，3]時，x-2∈[-1，1]，有f（x）=-f（x-2）=-（x-2）³
當x∈[4k-1，4k+1]時，x-4k∈[-1，1]，有f_k（x）=-f（x-4k）=-（x-4k）³．
x-4k=

3	y

，即y=f^-1_k（x）=4k+

3	x

，（-1＜x≤1）
（3）由f（x+2）=-f（x）=f（-x）
可得f（x）的對稱軸為x=1，所以f（x）的圖象如下：

接下來求解f（x）在[2k-1，2k+1]上的解析式：
①當k為偶數時，2k為其周期，x-2k∈[-1，1]
所以f（x）=f（x-2k）=（x-2k）³
②當k為奇數時，2k-2為其周期，x-（2k-2）∈[1，3]
所以f（x）=f（x-2k）=（x-（2k-2））³=-f（x-2k）=-（x-2k）³，
綜上f（x）=（-1）^k（x-2k）³，
g（x）=2k+（x-2k）³，x∈[2k-1，2k+1]，k∈z
所以將y=x³，向右移動2k個單位，再向上移動2k個單位即可得到g（x）的圖象；
顯然g（x）是連續(xù)的遞增函數，
∴當0＜b≤g（2013）=2013時，
方程g（x）-b=0在區(qū)間[-2013，2013]上有一解，
當b＞2013時，方程g（x）-b=0，在區(qū)間[-2013，2013]上無

點評：本題考查了函數的性質，定義，圖象運用，屬于中檔題．