Question

已知a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ，求a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題可以先根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，將原式中乘積轉(zhuǎn)化和的形式，再構(gòu)造新數(shù)列，求出新數(shù)列的通項(xiàng)，得到原數(shù)列通項(xiàng)，

解答： 解：∵a_n+1•a_n=2ⁿ，
∴lg(an+1•an)=lg2n，
∴l(xiāng)ga_n+1+lga_n=nlg2．
∴lgan+1-

1

2

(n+1)lg2+

1

4

lg2=-[lgan-

1

2

nlg2+

1

4

lg2]
∵a₁=1，
∴lga1-

1

2

lg2+

1

4

lg2=-

1

4

lg2．
∴數(shù)列{lgan-

1

2

nlg2+

1

4

lg2}是以-

1

4

lg2為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列．
∴lgan-

1

2

nlg2+

1

4

lg2=-

1

4

lg2×（-1）^n-1，
∴lgan=

1

2

nlg2-

1

4

lg2+

1

4

×(-1)nlg2，
∴an=2

2n-1+(-1)n

4

，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)，考查了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，也可以分n為奇數(shù)與偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，解決更簡(jiǎn)單些．本題難度適中，屬于中檔題．