Question

已知函數(shù)f（x），（x∈R⁺），滿足f（3x）=3f（x）．若f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），試計(jì)算：
（1）f（99）=

 

；
（2）集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值,集合的表示法,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題

分析：（1）由f（3x）=3f（x）將f（99）遞推下去，代入解析式求值；
（2）根據(jù)題意，求出當(dāng)3≤x≤9時(shí)的表達(dá)式，同理求出當(dāng)9≤x≤27時(shí)、當(dāng)27≤x≤81時(shí)和當(dāng)81≤x≤243時(shí)的表達(dá)式，然后解方程f（x）=18，即可得到集合M中最小的元素．

解答： 解：（1）根據(jù)題意：f（3x）=3f（x），且f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），
所以f（99）=3f（33）=3²f（11）=3³f（

11

3

）=3⁴f（

11

9

）=3⁴（1-|

11

9

-2|）=18；
（2）由題意得，當(dāng)3≤x≤9時(shí)，f（x）=3f（

x

3

）=3-|x-6|；
當(dāng)9≤x≤27時(shí)，f（

x

3

）=3-|3•

x

3

-6|=3-|x-6|，此時(shí)f（x）=3f（

x

3

）=9-|3x-18|； 
當(dāng)27≤x≤81時(shí)，f（

x

3

）=9-|3•

x

3

-18|=9-|x-18|，此時(shí)f（x）=3f（

x

3

）=27-|3x-54|； 
當(dāng)81≤x≤243時(shí)，f（

x

3

）=27-|3•

x

3

-54|=27-|x-54|，此時(shí)f（x）=3f（

x

3

）=81-|3x-162|．
由此可得f（99）=18，
接下來(lái)解方程f（x）=18：
當(dāng)81≤x≤243時(shí)，81-|3x-162|=18，得3x-162=±63，所以x=75或33（舍去）；
當(dāng)27≤x≤81時(shí)，27-|3x-54|=18，得3x-54=±81，所以x=45（舍負(fù)）；
當(dāng)9≤x≤27時(shí)，9-|3x-18|=18，找不到符合條件的x；
當(dāng)3≤x≤9時(shí)，3-|3x-6|=18，找不到符合條件的x；
當(dāng)1≤x≤3時(shí)，1-|x-2|=18，找不到符合條件的x．
因此集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是45，
故答案為：（1）18；（2）45．

點(diǎn)評(píng)：本題是分段函數(shù)問(wèn)題，要嚴(yán)格按照題目要求轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題去解決，考查討論方程的最小正數(shù)解，函數(shù)的定義和方程根的分布等知識(shí)．