Question

已知下列五個命題：
①命題“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R均有x²+x+1＞0”
②若兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則它們的平均數(shù)也相等
③已知x＞0時，（x-1）f′（x）＜0，若△ABC是銳角三角形，則f（sinA）＞f（cosB）
④“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B”的否命題是真命題
⑤過M（2，0）的直線l與橢圓

x2

2

+y2=1交于P₁，P₂兩點，線段P₁P₂中點為P，設(shè)直線l的斜率為k₁（k₁≠0），直線OP的斜率為k₂，則k₁k₂等于-

1

2

．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,解三角形,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯

分析：由存在性命題的否定為全稱性命題，即可判斷①；
若兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，根據(jù)平均數(shù)的計算公式，它們的平均數(shù)不一定相等，即可判斷②；
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，若△ABC是銳角三角形，即有A+B＞

π

2

，A＞

π

2

-B，
sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即可判斷③；
在三角形ABC中，sinA＞sinB?a＞b?A＞B，即可判斷④；
設(shè)點，代入橢圓方程，利用點差法，結(jié)合線段P₁P₂的中點為P，即可得到結(jié)論，即可判斷⑤．

解答： 解：對于①，命題“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R均有x²+x+1≥0”則①錯誤；
對于②，若兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，根據(jù)平均數(shù)的計算公式，它們的平均數(shù)不一定相等，則②錯誤；
對于③，x＞0時，（x-1）f′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，若△ABC是銳角三角形，
即有A+B＞

π

2

，A＞

π

2

-B，sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即有f（sinA）＞f（cosB），則③正確；
對于④，在三角形ABC中，sinA＞sinB?a＞b?A＞B，則原命題的否命題是真命題，則④正確；
對于⑤，設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，x₁²+2y₁²=2，
x₂²+2y₂²=2，兩式相減可得：（x₁-x₂）×2x+2（y₁-y₂）×2y=0，由于直線l的斜率為k₁（k₁≠0），
直線OP（O是原點）的斜率為k₂，則k₁k₂=-

1

2

，則⑤正確．
故答案為：③④⑤．

點評：本題考查命題的否定、中位數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系及銳角三角形中銳角的正弦函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查正弦定理和點差法、中點坐標(biāo)和斜率公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．