Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：（x+3）²+（y﹣1）²=4和圓C₂：（x﹣4）²+（y﹣5）²=4．

（1）若直線l過(guò)點(diǎn)A（4，0），且被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；

（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

解：（1）由于直線x=4與圓C₁不相交；

∴直線l的斜率存在，設(shè)l方程為：y=k（x﹣4）（1分）

圓C₁的圓心到直線l的距離為d，∵l被⊙C₁截得的弦長(zhǎng)為2

∴d==1（2分）

d=從而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣

∴直線l的方程為：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）

（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b）滿足條件，不妨設(shè)直線l₁的方程為y﹣b=k（x﹣a），k≠0

則直線l₂方程為：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）

∵⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，

∴⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等

即=（8分）

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|

∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5

因k的取值有無(wú)窮多個(gè)，所以或（10分）

解得或

這樣的點(diǎn)只可能是點(diǎn)P₁（，﹣）或點(diǎn)P₂（﹣，）

經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P₁和P₂滿足題目條件（12分）