Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在區(qū)間[a，b]⊆D，使得f（x）滿足：
（1）f（x）在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)；
（2）f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，則稱區(qū)間[a，b]是函數(shù)f（x）的“理想?yún)^(qū)間”，給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=log₃x不存在“理想?yún)^(qū)間”；
②函數(shù)f（x）=2^x存在“理想?yún)^(qū)間”；
③函數(shù)f（x）=x²-3（x≥0）不存在“理想?yún)^(qū)間”；
④函數(shù)f（x）=

8x

x2+1

（x≥0）存在“理想?yún)^(qū)間”．其中真命題的是

 

（填上所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件利用新定義、函數(shù)的單調(diào)性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：①函數(shù)f（x）=log₃x遞增，且f（x）=log₃x過(guò)原點(diǎn)的切線斜率為

log3e

e

，∵

log3e

e

＜2，∴l(xiāng)og₃x=2x無(wú)實(shí)根，
∴不存在“理想?yún)^(qū)間”，故該命題為真；
②函數(shù)f（x）=2^x遞增，且f（x）=2^x過(guò)原點(diǎn)的切線斜率為

e

log2e

，
∵

e

log2e

=eln2＜2.8×0.7=1.96＜2，∴2^x=2x有兩個(gè)不等根，
故此函數(shù)存在“理想?yún)^(qū)間”，故該命題為真；
③函數(shù)f（x）=x²-3（x≥0）遞增，當(dāng)x²-3=2x，即x²-2x-3=0時(shí)，求得x=3或x=1，
在x≥0上有一個(gè)根，∴此函數(shù)不存在“理想?yún)^(qū)間”，故該命題為真；
④函數(shù)f（x）=

8x

x2+1

=

8

x+ 1 x

，在[0，1）遞增，（1，+∞）遞減，而

8x

x2+1

=2x的兩根為0、

3

，
在單調(diào)區(qū)間上只有一個(gè)根，不存在“理想?yún)^(qū)間”，故該命題為假．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．