Question

已知點(diǎn)P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若k_AP與k_BP均存在，試問：k_AP與k_BP的乘積是否為定值？若是，求出這個(gè)值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的性質(zhì)、斜率計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：設(shè)A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），P（m，n）．
則

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，

m2

a2

+

n2

b2

=1，
∴

n2- y 2 0

b2

=

x 2 0 -m2

a2

．
∴k_AP•k_BP=

n-y0

m-x0

•

n+y0

m+x0

=

n2- y 2 0

m2- x 2 0

=-

b2

a2

．
因此k_AP與k_BP的乘積為定值-

b2

a2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交問題、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的對(duì)稱性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．