Question

商丘是商部族的起源和聚居地，商人、商業(yè)的發(fā)源地和商朝最早的建都地．華商始祖王亥最早在這里，商丘是華商之都，于2006年11月10日在商丘舉辦首屆國際華商文化節(jié)，某花卉集團根據(jù)需要欲將如圖所示一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過C點，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（Ⅱ）當(dāng)DN的長為多少時，矩形花壇AMPN的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,不等式的實際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)DN的長為x（x＞0）米，則AN=（x+2）米，表示出矩形的面積，利用矩形AMPN的面積大于32平方米，即可求得DN的取值范圍．
（Ⅱ）化簡矩形的面積，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)DN的長為x（x＞0）米，則AN=（x+2）米
∵

DN

AN

=

DC

AM

，∴AM=

3(x+2)

x

，…（2分）
∴S_AMPN=AN•AM=

3(x+2)2

x

．
由S_AMPN＞32，得

3(x+2)2

x

＞32，又x＞0，
得3x²-20x+12＞0，解得：0＜x＜

2

3

或x＞6，
即DN長的取值范圍是(0，

2

3

)∪(6，+∞)．     …（6分）
（Ⅱ）矩形花壇AMPN的面積為y=

3(x+2)2

x

=

3x2+12x+12

x

=3x+

12

x

+12≥2

3x• 12 x

+12=24…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)3x=

12

x

，即x=2時，矩形花壇AMPN的面積取得最小值24．
故DN的長為2米時，矩形AMPN的面積最小，最小值為24平方米．…（12分）

點評：本題考查根據(jù)題設(shè)關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，并求出處變量的取值范圍；考查利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是確定矩形的面積．