Question

如圖，拋物線C：y=-

1

3

x²+1與坐標軸的交點分別為P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂．
（1）求以F₁，F(xiàn)₂為焦點且過點P的橢圓方程；
（2）經(jīng)過坐標原點O的直線l與拋物線相交于A，B兩點，若|AO|=3|OB|，求直線l的方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂的坐標，可得a，b，c，即可求以F₁，F(xiàn)₂為焦點且過點P的橢圓方程；
（2）設l：y=kx，代入橢圓的方程，利用韋達定理及|AO|=3|OB|，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）由y=-

1

3

x²+1解得P（0，1）、F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），
所以b=1，c=

3

，從而a=2，
橢圓的方程為

x2

4

+y²=1．----（5分）
（2）依題意設l：y=kx，代入橢圓的方程得x²+3kx-3=0．----（8分）
設A、B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
依題意得△＞0，x₁+x₂=-3k，x₁x₂=-3，x₁=-3x₂，解得k=±

2

3

．----（10分）
所以，直線l的方程是y=

2

3

x或y=-

2

3

x．----（12分）

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．