Question

如圖，在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=

3

，AA₁=

6

，M為側(cè)棱CC₁上一點，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角B-AM-C的大小；
（Ⅲ）求點C到平面ABM的距離．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）欲證AM⊥平面A₁BC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AM與平面A₁BC內(nèi)兩相交直線垂直，而BC⊥AM，AM⊥BA₁，BC∩BA₁=B，滿足定理條件；
（Ⅱ）設(shè)AM與A₁C的交點為O，連接BO，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠BOC為二面角B-AM-C的平面角，在Rt△BCO中求解此角即可．
（Ⅲ）在ABC中，作CD⊥AB于D，連接DM，在△MCD中，作CO⊥MD，則CO⊥面 MAB，CO為點C到平面ABM的距離，在△MDC中求CO即可．

解答： （Ⅰ）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
易知面ACC₁A₁⊥面ABC，∵∠ACB=90°，
∴BC⊥面ACC₁A₁
∵AM⊆面ACC₁A₁，∴BC⊥AM．∵AM⊥BA₁，
且BC∩BA₁=B，∴AM⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）解：設(shè)AM與A₁C的交點為O，連接BO，
由（Ⅰ）可知AM⊥OB，且AM⊥OC，
所以∠BOC為二面角B-AM-C的平面角．
在Rt△ACM和Rt△A₁AC中，∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠AA₁C=∠MAC．∴Rt△ACM∽Rt△A₁AC．∴AC²=MC•AA₁．
∴MC=

6

2

．
∴在Rt△ACM中，AM=

3 2

2

．
∵

1

2

AC•MC=

1

2

AM•CO，
∴CO=1．
∴在Rt△BCO中，tan∠BOC=

BC

CO

=1．
∴∠BOC=45°，故所求二面角的大小為45°．
（Ⅲ）在ABC中，作CD⊥AB于D，連接DM，則AB⊥面MCD，AB?面MAB，
∴面MAB面⊥面MCD且交線為MD，
在△MCD中，作CO⊥MD，則CO⊥面 MAB，CO為點C到平面ABM的距離．
∵MC=

6

2

，CD=

3

2

，∴由勾股定理得MD=

3

2

，
利用等面積法：MD×CO=MC×CD，∴CO=

2

2

，即點C到平面ABM的距離是

2

2

．

點評：本題考查二面角的計算，空間距離的計算，線面垂直，面面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．屬于中檔題．