Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=

3

，點E在棱AB上．
（1）求異面直線D₁C與A₁D所成的角的余弦值；
（2）當二面角D₁-EC-D的大小為45°時，求點B到面D₁EC的距離．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：解法一：（1）連結(jié)B₁C，則∠D₁CB₁是異面直線D₁E與A₁D所成的角，利用余弦定理，求異面直線D₁C與A₁D所成的角的余弦值；
（2）利用VB-CED1=VD1-BCE，求點B到面D₁EC的距離．
解法二：分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．（1）求出

DA1

=(1，0，1)，

CD1

=(0，-

3

，1)，利用向量的夾角公式，求異面直線D₁C與A₁D所成的角的余弦值；
（2）求出面CED₁的法向量，

CB

=(1，0，0)，從而可求點B到平面D₁EC的距離d=

| CB • n |

| n |

=

3

3

．

解答： 解法一：（1）連結(jié)B₁C，∵A₁D∥B₁C
∴∠D₁CB₁是異面直線D₁E與A₁D所成的角
在△D₁CB₁中，D1C=D1B1=2，B1C=

2

，∴cos∠D1CB1=

2

4

∴異面直線D₁C與A₁D所成的角的余弦值為

2

4

．…（5分）
（2）作DF⊥CE，垂足為F，連結(jié)D₁F，則CE⊥D₁F．
所以∠DFD₁為二面角D₁-EC-D的平面角，且∠DFD₁=45°．
于是DF=DD1=1，D1F=

2

，
所以Rt△BCE≌Rt△FDC，所以CE=CD=

3

，
又BC=1，所以BE=

2

．…（10分）
設(shè)點B到平面D₁EC的距離為h，
則由VB-CED1=VD1-BCE，得

1

3

•

1

2

CE•D1F•h=

1

3

•

1

2

BE•BC•DD1，
因此有CE•D₁F•h=BE•BC•DD₁，即

3

h=1，∴h=

3

3

．…（12分）
解法二：如圖，分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．
（1）由D（0，0，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），C(0，

3

，0)得

DA1

=(1，0，1)，

CD1

=(0，-

3

，1)
∴cos＜

DA1

，

CD1

＞=

DA1 • CD1

| DA1 || CD1 |

=

1

2 2

=

2

4

…（5分）
（2）

m

=(0，0，1)為面DEC的法向量，設(shè)

n

=(x，y，z)為面CED₁的法向量，
則|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

=

|z|

x2+y2+z2

=cos45°=

2

2

，∴z²=x²+y²…①
由C(0，

3

，0)，得

D1C

=(0，

3

，-1)，則

n

⊥

D1C

，即

n

•

D1C

=0，
∴

3

y-z=0…②
由①、②，可取

n

=(

2

，1，

3

)，又

CB

=(1，0，0)，
∴點B到平面D₁EC的距離d=

| CB • n |

| n |

=

3

3

．…（12分）

點評：本題主要考查空間異面直線的夾角問題與點到平面的距離，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，再結(jié)合解三角形的有關(guān)知識求出答案即可，求點到平面的距離的方法：一般是利用等體積法或者借助于向量求解．