Question

【題目】如圖，已知長方形ABCD中，AB=2AD，M為DC的中點(diǎn)，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：AD⊥BM；
（2）若 =2 ，求二面角E﹣AM﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：長方形ABCD中，設(shè)AB=2，AD=1，M為DC的中點(diǎn)

則AM=BM= ，∴AM2+BM2=AB2，∴BM⊥AM

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM平面ABCM

∴BM⊥平面ADM

∵AD平面ADM，∴AD⊥BM

（2）解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

∵ =2 ，設(shè)AB=2，AD=1，

∴A（ ，0，0），M（﹣ ，0，0），B（﹣ ， ，0），D（0，0， ），

則平面AMD的一個(gè)法向量 =（0，1，0），

=（ ， ， ）， =（﹣ ，0，0），

設(shè)AME的一個(gè)法向量 =（x，y，z），

則 ，取y=1，得 =（0，1，﹣4），

設(shè)二面角E﹣AM﹣D的平面角為θ，

則cosθ= = ，sinθ= = ，

∴二面角E﹣AM﹣D的正弦值為 ．

【解析】（1）先證明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，證明BM⊥平面ADM，從而可得AD⊥BM．（2）建立直角坐標(biāo)系，求出平面AMD、平面AME的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可得出二面角E﹣AM﹣D的正弦值．