Question

【題目】已知橢圓Г： （a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 離心率為 ，F(xiàn)2與橢圓上點的連線的中最短線段的長為 ﹣1．
（1）求橢圓Г的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知Г上存在一點P，使得直線PF1 ， PF2分別交橢圓Г于A，B，若 =2 ， =λ （λ＞0），求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得： = ，a﹣c= ﹣1，b2=a2﹣c2，解得：a2=2，c=1，b=1．

∴橢圓Г的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +y2=1

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），點P（x0，y0），直線PA的方程：x=my﹣1，

聯(lián)立 ，化為：（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，

∴y0y1= ，x0=my0﹣1，

∴m= ．

∴ =﹣ =﹣ = = = +2 = +2 =3+2x0．

∴3+2x0=2，解得x0=﹣ ，∴P ．

（i）當(dāng)取P 時， = =﹣ ，可得直線PF2的方程：y=﹣ （x﹣1），即x=﹣ y+1．

代入橢圓方程可得： y2﹣ y﹣1=0，∴y2y0=﹣ ，而y0= ，

∴y2=﹣ ，∴ =﹣ =﹣ =4，即λ=4．

（ii）當(dāng)P 時，同理可得：λ=4．

綜上可得：λ=4

【解析】（1）由題意可得： = ，a﹣c= ﹣1，b2=a2﹣c2 ， 聯(lián)立解出即可得出橢圓Г的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），點P（x0 ， y0），直線PA的方程：x=my﹣1，與橢圓方程聯(lián)立化為：（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，可得y0y1= ，x0=my0﹣1，解得m= ．可得 =﹣ =3+2x0=2．解得x0 ， 可得P坐標(biāo)．利用點斜式可得直線PF2的方程，代入橢圓方程可即可得出．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．