Question

已知圓C：（x+3）²+（y-4）²=4
（1）若直線l₁過點(diǎn)A（-1，0），且與圓C相切，求直線l₁的方程；
（2）若圓D的半徑為1，圓心D在直線l₂：x+y-2=0上，且與圓C內(nèi)切，求圓D的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）當(dāng)切線l₁的斜率不存在時(shí)，求出直線l₁的方程；當(dāng)切線l₁的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l₁的方程為y-0=k（x+1），根據(jù)圓心C（-3，4）到直線l₁的距離等于半徑，求得斜率k的值，可得直線l₁的方程，綜合可得結(jié)論．
（2）設(shè)點(diǎn)D（a，2-a），根據(jù)圓D和圓C相內(nèi)切，可得|CD|=|2-1|，求得a的值，可得D的坐標(biāo)，從而求得圓D的方程．

解答： 解：（1）由于直線l₁過點(diǎn)A（-1，0），且與圓C相切，當(dāng)切線l₁的斜率不存在時(shí)，直線l₁的方程為x=-1；
當(dāng)切線l₁的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l₁的方程為y-0=k（x+1），即kx-y+k=0，根據(jù)圓心C（-3，4）到直線l₁的距離等于半徑，
可得

|-3k-4+k|

k2+1

=2，求得k=-

3

4

，故直線l₁的方程為3x+4y+3=0．
綜上可得，直線l₁的方程為x=-1或3x+4y+3=0．
（2）設(shè)點(diǎn)D（a，2-a），根據(jù)圓D和圓C相內(nèi)切，可得|CD|=|2-1|，即

(a+3)2+(2-a-4)2

=1，求得a=-2，或 a=-3，
故點(diǎn)D（-2，4）或D（-3，5），∴圓D的方程為 （x+2）²+（y-4）²=1，或（x+3）²+（y-5）²=1．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，圓和圓相內(nèi)切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．