Question

在平面直角坐標中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標第．設(shè)橢圓的長軸長為10，中心為（3，0），一個焦點在直角坐標原點．
（1）求橢圓的直角坐標方程，并化為極坐標方程；
（2）當橢圓的過直角坐標原點的弦的長度為

640

91

時，求弦所在直線的直角坐標方程．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）由題意可得，c=3，a=5，b=4，進而得到橢圓的直角坐標方程，注意中心在（3，0），再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入化簡即可得到極坐標方程；
（2）設(shè)橢圓的過直角坐標原點的弦的方程為：y=kx，則代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，計算即可得到k，進而得到直線方程．

解答： 解：（1）由于橢圓的長軸長為10，中心為（3，0），
則a=5，2c=6，則c=3，
即有b²=a²-c²=16，
則橢圓方程為：

(x-3)2

25

+

y2

16

=1，
再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
則有ρ²（16+9cos²θ）-96ρcosθ-256=0；
（2）設(shè)橢圓的過直角坐標原點的弦的方程為：y=kx，
則代入橢圓方程，得，16（x-3）²+25k²x²=400，
即有（16+25k²）x²-96x-256=0，設(shè)交點為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

96

16+25k2

，x₁x₂=-

256

16+25k2

，
由于弦長為：

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( 96 16+25k2 )2+ 1024 16+25k2

=

640

91

，
解得，k=±

3

，
則弦所在直線的直角坐標方程為：y=±

3

x．

點評：本題考查極坐標和直角坐標的互化，考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，由于韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．