Question

已知函數(shù)y=e^x
（1）求這個函數(shù)在x=e處的切線方程；
（2）過原點作曲線y=e^x的切線，求切線的方程．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求將x=e代入直線方程求切點，然后求導，求x=e處的導數(shù)，即切線斜率，求出切線方程y=e^ex-e^e+1+e^e；
（2）先利用導數(shù)求出在x=x₀處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用切線過原點即可解決問題．

解答： 解：（1）函數(shù)y=e^x，f（e）=e^e，則切點坐標為（e，e^e），
求導y′=e^x，則f′（e）=e^e，即切線斜率為e^e，
則切線方程為y-e^e=e^e（x-e），
化簡得y=e^ex-e^e+1+e^e；
（2）y=e^x，y′=e^x，
設(shè)切點的坐標為（x₀，e^x0），
則切線的斜率為f′（x₀）=e^x0，
故切線方程為y-e^x0=e^x0（x-x₀），
又切線過原點（0，0），
則-e^x0=e^x0（-x₀），
解得x₀=1，y₀=e，
則切線方程為y=ex．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．