Question

6．在正三棱錐S-ABC中，AB=BC=AC=4，D是AB中點，且SD與BC所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，則三棱錐S-ABC外接圓的表面積為24π．

Answer 1

分析 先設出側棱長為l，正三棱錐的底邊長為a，利用異面直線所成角的概念及已知SD與BC所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，建立l和a的方程，得出正三棱錐S-ABC為正四面體，棱長為4，外接球的半徑，即可得出結論．

解答 解：由題意畫出圖形：由于三棱錐S-ABC為正三棱錐
設側棱為l，底面邊長為a，因為D是AB的中點，且SD與BC所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
取AC的中點E，因為DE∥BC，所以cos∠SDE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
所以$\frac{\frac{a}{4}}{\sqrt{{l}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，所以a=l，
所以正三棱錐S-ABC為正四面體，棱長為4，外接球的半徑為$\frac{3}{4}×\sqrt{16-\frac{16}{3}}$=$\sqrt{6}$，
∴三棱錐S-ABC外接圓的表面積為4π•6=24π，
故答案為24π．

點評 本題重點考查了異面直線所成角的概念，還考查了直線與平面所成的線面角的概念及解題過程中方程的解題思想，屬于中檔題，解題的關鍵就是尋找線面所成角．