Question

（1）求函數(shù)f（x）=

1-x

-

x

的定義域和值域．
（2）求證函數(shù)f（x）=a-

1

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，1-x≥0，x≥0；從而求函數(shù)的定義域，進(jìn)而求函數(shù)的值域；
（2）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解（1）要使函數(shù)有意義，則 

1-x≥0 x≥0

，
解得，0≤x≤1，
故函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]．
∵函數(shù)f（x）=

1-x

-

x

為減函數(shù)，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇-1，1]．
（2）證明：任取0＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

x1

）-（a-

1

x2

）
=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜x₁x₂，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域，值域的求法及函數(shù)的單調(diào)性的證明，屬于基礎(chǔ)題．