已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M(2，t)(t>0)在直線(xiàn)x＝(a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距)上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求以O(shè)M為直徑且被直線(xiàn)3x－4y－5＝0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
(3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線(xiàn)與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線(xiàn)段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．
（1）＋y2＝1（2）(x－1)2＋(y－2)2＝5（3）
(1)解：由點(diǎn)M在準(zhǔn)線(xiàn)上，得＝2，故＝2，∴c＝1，從而a＝，所以橢圓方程為＋y2＝1.
(2)解：以O(shè)M為直徑的圓的方程為x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1)2＋＝＋1，其圓心為，半徑r＝，因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線(xiàn)3x－4y－5＝0截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線(xiàn)3x－4y－5＝0的距離d＝＝，所以＝，解得t＝4，所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5.
(3)證明：設(shè)N(x0，y0)，則＝(x0－1，y0)，＝(2，t)，＝(x0－2，y0－t)，＝(x0，y0)．∵⊥，∴2(x0－1)＋ty0＝0，∴2x0＋ty0＝2.
∵⊥，∴x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，∴＋＝2x0＋ty0＝2，∴||＝＝為定值．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（已知拋物線(xiàn)（）的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的方程，并寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）是否存在過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)（直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，），使得三角形的面積？若存在，請(qǐng)求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1的離心率為，左焦點(diǎn)為F(－1，0)，
(1)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)L與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)L的方程；
(2)橢圓C上是否存在三點(diǎn)P，E，G，使得S△OPE＝S△OPG＝S△OEG＝？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，圓與直線(xiàn)相切于點(diǎn)，與正半軸交于點(diǎn)，與直線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為.點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線(xiàn)．

（1）求圓的方程及曲線(xiàn)的方程；
（2）若兩條直線(xiàn)和分別交曲線(xiàn)于點(diǎn)、和、，求四邊形面積的最大值，并求此時(shí)的的值．
（3）證明：曲線(xiàn)為橢圓，并求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)雙曲線(xiàn)C：（a>0，b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），離心率， A、B是雙曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)M（1，2）.
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）求直線(xiàn)AB方程；
（3）如果線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線(xiàn)x-y+=0相切,過(guò)點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸直線(xiàn)l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求·的取值范圍;
(3)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是E,證明:直線(xiàn)AE與x軸相交于定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線(xiàn)相切.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，AN軸于N，若動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足（其中m為非零常數(shù)），試求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
(3)在（2）的結(jié)論下，當(dāng)時(shí)，得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡曲線(xiàn)C，與垂直的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于 B、D兩點(diǎn)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓M：＝1(a＞b＞0)的短半軸長(zhǎng)b＝1，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為6＋4.
(1)求橢圓M的方程；
(2)設(shè)直線(xiàn)l：x＝my＋t與橢圓M交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)C，求t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)A(－2，－1)橢圓C∶＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，短軸端點(diǎn)為B1、B2，＝2b2.
(1)求a、b的值；
(2)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與橢圓C的另一交點(diǎn)為Q，與y軸的交點(diǎn)為R.過(guò)原點(diǎn)O且平行于l的直線(xiàn)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P.若AQ·AR＝3OP2，求直線(xiàn)l的方程．

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