Question

2014年2月開始西非爆發(fā)了大規(guī)模的埃博拉病毒（Ebola virus）疫情．到目前為止，該病毒已導(dǎo)致感染病例超過2萬人，死亡近8000人．2014年9月，世衛(wèi)組織（WHO）稱某國科學(xué)家正在研究針對埃博拉病毒的兩種疫苗（δ-疫苗和σ-疫苗）：用若干個試驗組進行對比試驗，每個試驗組有4只獼猴，并將獼猴編號，其中每組①②號注射δ-疫苗，而③④注射σ-疫苗，然后觀察療效．若在一個試驗組中，注射δ-疫苗有效的獼猴的只數(shù)比注射σ-疫苗有效的獼猴的只數(shù)多，就稱該試驗組為“控制組”．設(shè)每只獼猴注射δ-疫苗有效的概率為

2

3

，注射σ-疫苗有效的概率為

1

2

．
（I）求一個試驗組的每只獼猴注射疫苗后都有效的概率；
（Ⅱ）若觀察三個不同的試驗組，用ξ表示這三個試驗組中“控制組”的個數(shù)，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設(shè)事件A表示一個試驗組的每只獼猴注射疫苗后都有效，利用相互獨立事件概率乘法公式能求出一個試驗組的每只獼猴注射疫苗后都有效的概率．
（Ⅱ）依題意，一個試驗組為“控制組”的情況有3類：注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的1只有效；注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的0只有效；注射δ-疫苗的1支有效，注射σ-疫苗的0只有效．從而得到隨機變量ξ～B（3，

4

9

），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)事件A表示一個試驗組的每只獼猴注射疫苗后都有效，
則P（A）=(

2

3

)2(

1

2

)2=

1

9

．
（Ⅱ）依題意，一個試驗組為“控制組”的情況有3類：
注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的1只有效，
概率為P1=(

2

3

)2•

C

1 2

(

1

2

)2=

2

9

，
注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的0只有效，
概率為：P₂=（

2

3

）²•（

1

2

）²=

1

9

，
注射δ-疫苗的1支有效，注射σ-疫苗的0只有效，
概率為P₃=

C

1 2

•

2

3

•

1

3

•(

1

2

)2=

1

9

，
∴一個試驗組為“控制組”的概率為P=P₁+P₂+P₃=

2

9

+

1

9

+

1

9

=

4

9

，
∴隨機變量ξ～B（3，

4

9

），
P（ξ=0）=

C

0 3

(

5

9

)3=

125

729

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

4

9

)(

5

9

)2=

300

729

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

4

9

)2(

5

9

)=

240

729

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

4

9

)3=

64

729

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	125 729	300 729	240 729	64 729

∵ξ～B（3，

4

9

），∴Eξ=3×

4

9

=

4

3

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．