Question

19．函數(shù)f（x）=lnx-3ax有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{3e}$）．

Answer 1

分析 令y=0，進(jìn)行變形lnx=3ax，即a=$\frac{lnx}{3x}$，令 g（x）=$\frac{lnx}{3x}$，利用導(dǎo)數(shù)的方法，研究其單調(diào)性及最大值，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：y=f（x）有零點(diǎn)，即f（x）=lnx-3ax=0有解，a=$\frac{lnx}{3x}$，
令 g（x）=$\frac{lnx}{3x}$，g′（x）=（$\frac{lnx}{3x}$）′=$\frac{1-lnx}{3{x}^{2}}$，
解g′（x）=0得x=e．
則g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=e時(shí)，g（x）的最大值為g（e）=$\frac{1}{3e}$，
所以a≤$\frac{1}{3e}$，
由于函數(shù)f（x）=lnx-3ax有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴a的取值范圍是（0，$\frac{1}{3e}$）．
故答案為：（0，$\frac{1}{3e}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題．