Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，設橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率為

1

2

，過橢圓E內一點P（1，1）的兩條直線分別與橢圓交于點A、C和B、D，且滿足

AP

=λ

PC

，

BP

=λ

PD

，其中λ為正常數．
（1）當點C恰為橢圓的右頂點時，對應的λ=

5

7

，求橢圓的方程．
（2）當λ變化時，k_AB是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由離心率，得到ac關系，通過A坐標代入到橢圓方程中，能求出a，b，求出橢圓方程．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由

AP

=λ

PC

，

BP

=λ

PD

，推出坐標關系，將AB坐標代入橢圓方程推出b2(x1+x2)+a2(y1+y2)kAB=0，通過k_AB=k_CD，導出k_AB=0，說明kAB=-

b2

a2

為定值．

解答： 解：（1）因為橢圓的離心率為

1

2

，所以b2=

3

4

a2，…（2分）
因為C（a，0），λ=

5

7

，所以

AP

=λ

PC

，得A(

12-5a

7

，

12

7

)，
將它代入到橢圓方程中，得

(12-5a)2

49a2

+

122

49× 3 4 a2

=1，解得a=2，…（4分）
∴b=

3

，所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由

AP

=λ

PC

，得

x1+λx3=1+λ y1+λy3=1+λ

，同理

BP

=λ

PD

，可得

x2+λx4=1+λ y2+λy4=1+λ

，…（8分）
將A、B坐標代入橢圓方程得

b2 x 2 1 +a2 y 2 1 =a2b2 b2 x 2 2 +a2 y 2 2 =a2b2

，兩式相減得
b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0，
即b2(x1+x2)+a2(y1+y2)kAB=0①…（10分）
同理，b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kCD=0，
而k_AB=k_CD，所以b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kAB=0，
所以b2λ(x3+x4)+a2λ(y3+y4)kAB=0②
①+②得b2(x1+λx3+x2+λx4)+a2(y1+λy3+y2+λy4)kAB=0，
即k_AB=0，所以kAB=-

b2

a2

為定值．…（12分）

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．