Question

四面體ABCD及其三視圖如圖1­4所示，過棱AB的中點E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點F，G，H.

(1)證明：四邊形EFGH是矩形；

(2)求直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值．

　　

圖1­4

Answer 1

解：(1)證明：由該四面體的三視圖可知，

BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，

BD＝DC＝2，AD＝1.

由題設(shè)，BC∥平面EFGH，

平面EFGH∩平面BDC＝FG，

平面EFGH∩平面ABC＝EH，

∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.

同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG.

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC，

∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，

∴四邊形EFGH是矩形．

(2)方法一：如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，

DA＝(0，0，1)，BC＝(－2，2，0)，

BA＝(－2，0，1)．

設(shè)平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，

∵EF∥AD，FG∥BC，

∴n·DA＝0，n·BC＝0，

得

方法二：如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，

則D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，

∵E是AB的中點，∴F，G分別為BD，DC的中點，得，F(1，0，0)，G(0，1，0)．