Question

已知g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²，求證：g（x）≥

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²，可看作是兩點(diǎn)A（x，lnx）和B（a，a）的距離的平方，A在函數(shù)y=lnx上，B在直線y=x上，設(shè)直線y=x+t與函數(shù)y=lnx相切的一條直線，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)，求出切點(diǎn)到直線y=x的距離，即為A，B的最小值，再平方，即可得證．

解答： 證明：g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²，
可看作是兩點(diǎn)A（x，lnx）和B（a，a）的距離的平方，
A在函數(shù)y=lnx上，B在直線y=x上，
設(shè)直線y=x+t與函數(shù)y=lnx相切的一條直線，
可設(shè)切線為（m，n），則由（lnx）′=

1

x

，
即有切線斜率為

1

m

=1，解得m=1，n=0，
則切點(diǎn)為（1，0），切線為y=x-1，
此時(shí)切點(diǎn)到直線y=x的距離即為A，B兩點(diǎn)距離的最小值，
即為

|1-0|

2

=

2

2

．
故g（x）≥(

2

2

)2=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查兩點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線的距離的公式及運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．