Question

設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)a₁=a（a≠

1

4

），a_n+1=

1 2 an，n=2k an+ 1 4 ，n=2k-1

（k∈N^*），且b_n=a_2n-1-

1

4

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃；
（2）判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（3）求

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n+1=

1 2 an，n=2k an+ 1 4 ，n=2k-1

（k∈N^*），分別取n=1，2即可得出；
（2）由于b_n=a_2n-1-

1

4

（n∈N^*），可得b_n+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

bn，即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（3）由（2）可得b_n=(a-

1

4

)•(

1

2

)n-1．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其數(shù)列極限的運(yùn)算法則即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

1 2 an，n=2k an+ 1 4 ，n=2k-1

（k∈N^*），a₁=a．
∴a₂=a1+

1

4

=a+

1

4

，a3=

1

2

a2=

1

2

a+

1

8

．
（2）數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，下面給出證明．
∵b_n=a_2n-1-

1

4

（n∈N^*），
∴b_n+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

bn，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)b₁=a1-

1

4

=a-

1

4

(a≠

1

4

)，公比為

1

2

．
（3）由（2）可得b_n=(a-

1

4

)•(

1

2

)n-1．
∴b₁+b₂+…+b_n=

(a- 1 4 )(1- 1 2n )

1- 1 2

=2(a-

1

4

)(1-

1

2n

)．
∴

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）=

lim

n→∞

2(a-

1

4

)(1-

1

2n

)=2a-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段數(shù)列的意義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列極限的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．