Question

21．已知函數(shù)，，其中，設為的極小值點，為的極值點，，并且，將點依次記為．

（1）求的值；

（2）若四邊形為梯形且面積為1，求的值．

Answer 1

本小題考查多項式函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)極值的判定，二次函數(shù)與二次方程等基礎知識的綜合運用，考查用數(shù)形結合的數(shù)學思想分析問題，解決問題的能力.

   （Ⅰ）解：f′（x）=ax²+2（a+d）x+a+2d=（x+1）（ax+a+2d）.

令f′（x）=0，由a≠0得x=－1或x=－1－.

∵a＞0，d＞0.

∴-1-＜-1.

當-1-＜x＜-1時，f′（x）＜0，

當x＞-1時，f′（x）＞0.

所以f（x）在x=-1處取得極小值，即

x₀=-1.

（Ⅱ）解：g（x）=ax²+（2a+4d）x+a+4d，

∵a＞0，x∈R，

∴g（x）在x=-=-1-處取得極小值，即

x₁=-1-.

由g（x）=0，即（ax+a+4d）（x+1）=0，

∵a＞0，d＞0，x₂＜x₃，

∴x₂=-1-，x₃=-1.

∵f（x₀）=f（-1）=-a+（a+d）-（a+2d）+d=-a，

g（x₁）=g（-1-）=a（-1-）²+（2a+4d）（-1-）+a+4d=-，

∴A（-1，-a），B（-1-，-），C（-1-，0），D（-1，0）.

由四邊形ABCD是梯形及BC與AD不平行，得AB∥CD.

∴－，即

a²=12d².

由四邊形ABCD的面積為1，得（|AB|+|CD|）·|AD|=1，即

()·=1，得

d=1.

從而a²=12，得

     a=2.