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19.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+cex(a>0)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為0和3.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)的極大值為10e3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,5]上的最小值.

分析 (1)先求導(dǎo),在根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)得到:-ax2+(2a-b)x+b-c=0的兩根為0,3,根據(jù)韋達(dá)定理即可求出a,b,c的關(guān)系,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)增區(qū)間,
(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值.

解答 解:f′(x)=ax2+2abx+bcex
令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c
函數(shù)y=f′(x)的零點(diǎn)即g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零點(diǎn)
即:-ax2+(2a-b)x+b-c=0的兩根為0,3
{3=2abao=bc解得:b=c=-a,
令f′(x)>0得0<x<3
所以函數(shù)的f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,3),
(2)由(1)得:fx=ax2axaex
函數(shù)在區(qū)間(0,3)單調(diào)遞增,在(3,+∞)單調(diào)遞減,
fx=f3=5ae3=10e3,
∴a=2,
f0=ae0=2;  f5=19ae5=38e50,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的最小值為-2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了韋達(dá)定理和導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最值以及單調(diào)性的關(guān)系,屬于中檔題.

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