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已知銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,外接圓半徑為1,D為邊BC上一點,
AD
BC
=0,向量
m
=(sinA,a),
n
=(sinB,c),且
m
n
,則AD+BC的取值范圍為( 。
A、(0,
5
+1)
B、(2,
5
+1]
C、(3,
5
+1)
D、(2,3)
考點:平面向量數量積的運算,平行向量與共線向量
專題:計算題
分析:由已知,得出△ABC為等腰三角形,AD⊥BD,利用正弦定理得出AD+BC=f(A)=2sinA+1+cosA=1+
5
sin(A+θ),再利用三角函數性質求范圍即可.
解答: 解:∵
AD
BC
=0,∴AD⊥BD,
∵向量
m
=(sinA,a),
n
=(sinB,c),且
m
n

∴csinA=asinB,ca=cb,b=c,銳角△ABC為等腰三角形.
根據正弦定理得出BC=2RsinA=2sinA,
在RT△ABD中,AD=tanB×BD=cot
A
2
×
1
2
BC=
1+cosA
sinA
×2sinA=1+cosA,
所以AD+BC=2sinA+1+cosA=1+
5
sin(A+θ),
其中tanθ=
1
2
,θ為銳角(即θ=arctan
1
2
),A∈(0,
π
2
)

當sin(A+θ)=1時,取得最大值
5
+1
,當A→0時,sin(A+θ)→sinθ=
5
5
,此時AD+BC→2.
綜上所述AD+BC的取值范圍(2,
5
+1]
故選:B.
點評:本題考查三角知識的綜合應用,建立AD+BC=f(A)=2sinA+1+cosA是關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2+2mx+2,x∈[-5,5]
(1)當m=-2時,求f(x)的最大值和最小值;
(2)求實數m的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-5,5]上是單調函數;
(3)在(1)的條件下,設g(x)=f(x)+n-5,求實數n滿足什么條件時函數g(x)在區(qū)間[0,4]上有且僅有一個零點?

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科目:高中數學 來源: 題型:

①設
a
b
是兩個非零向量,若|
a
+
b
|=|
a
-
b
|,則
a
b
=0
②若非零向量
a
,
b
,
c
d
滿足
d
=(
a
c
b
-(
a
b
c
,則
a
d

③在△ABC中,若acosA=bcosB,則△ABC是等腰三角形
④在△ABC中,∠A=60°,邊長a,c分別為a=4,c=3
3
,則△ABC只有一解.
上面說法中正確的是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數f(x)=
(x+2)2
|x|-x
的定義域為( 。
A、{x|x>0}
B、{x|x<0}
C、{x|x>0,x≠1}
D、{x|x<0.x≠-2}

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知命題p:?x∈R,x2+x+1>0,命題q:?x∈Q,x2=3,則下列命題中是真命題的是( 。
A、p∧qB、¬p∨q
C、¬p∧¬qD、¬p∨¬q

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F,且EF=1,則四面體A-EFB的體積為( 。
A、
2
6
B、
2
12
C、
2
4
D、
2
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

如果數列{an}滿足a1=-60,an+1=an+3,那么S10=( 。
A、-180B、-465
C、-600D、735

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知x>0,若x+
81
x
的值最小,則x為( 。
A、81B、9C、3D、16

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科目:高中數學 來源: 題型:

對于命題“正三角形內任意一點到各邊的距離之和為定值”推廣到空間是“正四面體內任意一點到各面的距離之和為( 。
A、定值
B、有時為定值,有時為變數
C、變數
D、與正四面體無關的常數

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