Question

已知銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓半徑為1，D為邊BC上一點，

AD

•

BC

=0，向量

m

=（sinA，a），

n

=（sinB，c），且

m

∥

n

，則AD+BC的取值范圍為（　�。�

• A、（0，

  5

  +1）
• B、（2，

  5

  +1]
• C、（3，

  5

  +1）
• D、（2，3）

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,平行向量與共線向量

專題：計算題

分析：由已知，得出△ABC為等腰三角形，AD⊥BD，利用正弦定理得出AD+BC=f（A）=2sinA+1+cosA=1+

5

sin（A+θ），再利用三角函數性質求范圍即可．

解答： 解：∵

AD

•

BC

=0，∴AD⊥BD，
∵向量

m

=（sinA，a），

n

=（sinB，c），且

m

∥

n

，
∴csinA=asinB，ca=cb，b=c，銳角△ABC為等腰三角形．
根據正弦定理得出BC=2RsinA=2sinA，
在RT△ABD中，AD=tanB×BD=cot

A

2

×

1

2

BC=

1+cosA

sinA

×2sinA=1+cosA，
所以AD+BC=2sinA+1+cosA=1+

5

sin（A+θ），
其中tanθ=

1

2

，θ為銳角（即θ=arctan

1

2

），A∈(0，

π

2

)．
當sin（A+θ）=1時，取得最大值

5

+1，當A→0時，sin（A+θ）→sinθ=

5

5

，此時AD+BC→2．
綜上所述AD+BC的取值范圍（2，

5

+1]
故選：B．

點評：本題考查三角知識的綜合應用，建立AD+BC=f（A）=2sinA+1+cosA是關鍵．