Question

已知函數(shù)f（x）=

|x|(x+4)

x+2

（x≠-2），下列關(guān)于函數(shù)g（x）=[f（x）]²-f（x）+a（其中a為常數(shù)）的敘述中：①?a＞0，函數(shù)g（x）一定有零點(diǎn)；②當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)g（x）有5個(gè)不同零點(diǎn)；③?a∈R，使得函數(shù)g（x）有4個(gè)不同零點(diǎn)；④函數(shù)g（x）有6個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件是0＜a＜

1

4

．其中真命題的序號(hào)是（　�。�

• A、①②③
• B、②③④
• C、②③
• D、①③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：函數(shù)f（x）=

|x|(x+4)

x+2

=

x+2- 4 x+2 ，x≥0 4 x+2 -(x+2)，x＜0且x≠-2

，畫(huà)出圖象：下列關(guān)于函數(shù)g（x）=[f（x）]²-f（x）+a（其中a為常數(shù)）的敘述中：
①當(dāng)△=1-4a＜0，即a＞

1

4

，函數(shù)g（x）無(wú)有零點(diǎn)；
②當(dāng)a=0時(shí)，由g（x）=0，可得f（x）=0或f（x）=1，結(jié)合圖象即可判斷出函數(shù)g（x）有5個(gè)不同零點(diǎn)；
③取a=-2，則g（x）=0化為f（x）=2或f（x）=-1，由圖象可知：函數(shù)g（x）有4個(gè)不同零點(diǎn)；
④函數(shù)g（x）有6個(gè)不同零點(diǎn)?a≥0且△=1-4a＞0?0＜a＜

1

4

．即可判斷出．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

|x|(x+4)

x+2

=

x+2- 4 x+2 ，x≥0 4 x+2 -(x+2)，x＜0且x≠-2

，
畫(huà)出圖象：
下列關(guān)于函數(shù)g（x）=[f（x）]²-f（x）+a（其中a為常數(shù)）的敘述中：
①若△=1-4a＜0，即a＞

1

4

，函數(shù)g（x）無(wú)有零點(diǎn)；
②當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=0，可得f（x）=0或f（x）=1，則函數(shù)g（x）有5個(gè)不同零點(diǎn)，正確；
③取a=-2，則g（x）=0化為f（x）=2或f（x）=-1，由圖象可知：此時(shí)使得函數(shù)g（x）有4個(gè)不同零點(diǎn)，正確；
④函數(shù)g（x）有6個(gè)不同零點(diǎn)?a≥0且△=1-4a＞0?0＜a＜

1

4

．因此函數(shù)g（x）有6個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件是0＜a＜

1

4

．
綜上可得：正確的是②③④．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，考查了分類討論思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．