Question

證明：1•1！+2•2！+…+n•n！=（n+1）！-1．

Answer 1

考點(diǎn)：排列及排列數(shù)公式

專題：排列組合

分析：本題屬于關(guān)于置之死地命題的證明，所以利用數(shù)學(xué)歸納法矩形證明即可．

解答： 證明：n=1時，左邊=1，右邊=2!-1=1；
假設(shè)n=k等式成立，即1•1!+2•2!+3•3!+k•k!=（k+1）!-1，
則n=k+1時，1•1!+2•2!+3•3!+k•k!+（k+1）•（k+1）!=（k+1）!-1+（k+1）•（k+1）!=（k+1）!（1+k+1）-1=（k+2）!-1；
所以n=k+1時等式成立；
所以1•1!+2•2!+…+n•n!=（n+1）!-1對任意的n∈N成立．

點(diǎn)評：本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設(shè)中結(jié)論證明當(dāng)n=k+1時成立，本題是一個中檔題目