Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-4（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b_n+1=a_n+2b_n，且b₁=2，求證數(shù)列{

bn

2n

}是等差數(shù)列；
（3）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用條件分別讓n=1，2，3即可求a₁，a₂，a₃求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{

bn

2n

}是等差數(shù)列；
（3）利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-4，解得a₁=4，
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=2a₂-4=4+a₂，解得a₂=8，
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=2a₃-4=4+8+a₃，解得a₃=16，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ⁺¹；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b_n+1=a_n+2b_n=2ⁿ⁺¹+2b_n，且b₁=2，
則

bn+1

2n+1

=1+

2bn

2n+1

=1+

bn

2n

，
即

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=1，
故數(shù)列{

bn

2n

}是公差d=1的等差數(shù)列；
（3）∵數(shù)列{

bn

2n

}是公差d=1的等差數(shù)列，首項(xiàng)為

b1

2

=

2

2

=1，
∴

bn

2n

=1+n-1=n，即b_n=n•2ⁿ，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
則2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-S_n=1•2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及等差數(shù)列的判斷，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵．