Question

5．在研究函數(shù) f （ x ）=$\sqrt{{x^2}+4}$-$\sqrt{{x^2}-12x+40}$的性質(zhì)時，某同學(xué)受兩點(diǎn)間距離公式啟發(fā)，將f（x）變形為f（x）=$\sqrt{（x-0{）^2}+（0-2{）^2}}$-$\sqrt{（x-6{）^2}+（0-2{）^2}}$，并給出關(guān)于函數(shù)f（x）以下五個描述：
①函數(shù) f（x）的圖象是中心對稱圖形； 
②函數(shù) f（x）的圖象是軸對稱圖形；
③函數(shù) f（x）在[0，6]上是增函數(shù)；
④函數(shù) f（x）沒有最大值也沒有最小值；
⑤無論m為何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程 f（x）-m=0都有實(shí)數(shù)根．
其中描述正確的是①③④．

Answer 1

分析 函數(shù) f （ x ）=$\sqrt{{x^2}+4}$-$\sqrt{{x^2}-12x+40}$=$\sqrt{（x-0{）^2}+（0-2{）^2}}$-$\sqrt{（x-6{）^2}+（0-2{）^2}}$，如圖表示點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（0，2）的距離|PA|與到點(diǎn)B（6，2）的距離|PB|之差；結(jié)合圖形可知，在x=3處，f（x）=0，-6＜PA-PB＜6
∴函數(shù) f（x）的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為（3，0），即可判斷．

解答 解：函數(shù) f （ x ）=$\sqrt{{x^2}+4}$-$\sqrt{{x^2}-12x+40}$=$\sqrt{（x-0{）^2}+（0-2{）^2}}$-$\sqrt{（x-6{）^2}+（0-2{）^2}}$，如圖表示點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（0，2）的距離|PA|與到點(diǎn)B（6，2）的距離|PB|之差；結(jié)合圖形可知，在x=3處，f（x）=0，-6＜PA-PB＜6
∴函數(shù) f（x）的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為（3，0），故①正確，②錯；
在（-∞，+∞）遞增，值域為（-6，6）
故③，函數(shù) f（x）在[0，6]上是增函數(shù)，正確；
故④函數(shù) f（x）沒有最大值也沒有最小值，正確；
故⑤無論m為何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程 f（x）-m=0都有有實(shí)數(shù)根，錯．
故答案為：①③④

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)表達(dá)式的幾何意義，屬于中檔題．